determinant是什麼意思，determinant的意思翻譯、用法、同義詞、例句

determinant英标

英:/'dɪˈtɜːmɪnənt/ 美:/'dɪˈtɜːrmɪnənt/

常用解釋

決定因素

詞性

複數:determinants

類别

GRE

常用詞典

例句

常用搭配

同義詞

專業解析

行列式（Determinant）是線性代數中一個極其重要的概念，它專屬于方陣（即行數和列數相等的矩陣）。它賦予每個方陣一個标量值（一個單一的數值），這個數值蘊含了該矩陣所代表的線性變換的許多關鍵信息，尤其在幾何意義上反映了該變換對空間體積的縮放比例和方向性。以下是其詳細解釋：

1. 數學定義與計算：

   • 行列式是針對 n×n 方陣定義的。對于一個 2×2 矩陣： $$ A = begin{bmatrix} a & b c & d end{bmatrix} $$ 其行列式記為 det(A) 或 |A|，計算公式為： $$ det(A) = ad - bc $$
   • 對于更大的 n×n 矩陣，計算行列式通常需要更複雜的方法，如拉普拉斯展開（按某一行或某一列展開）或利用矩陣的初等行變換将其化為上三角矩陣（此時行列式等于主對角線上元素的乘積）。來源：《線性代數及其應用》（David C. Lay 等著）。

2. 幾何意義（核心價值）：

   • 這是理解行列式最直觀的方式。設想矩陣代表一個線性變換（如旋轉、縮放、剪切等）。
   • 縮放因子：行列式的絕對值 |det(A)| 表示該線性變換對空間（例如，在二維中是面積，在三維中是體積）的縮放比例。
     • 如果 |det(A)| = 1，變換是保體積的（如旋轉、反射）。
     • 如果 |det(A)| > 1，變換放大了體積。
     • 如果 |det(A)| < 1，變換縮小了體積。
     • 如果 |det(A)| = 0，變換将空間壓縮到了一個更低維度的子空間（如将平面壓縮成一條線或一個點），導緻體積為零。來源：Khan Academy 線性代數課程。
   • 方向性：行列式的符號 (正或負) 指示了該線性變換是否改變了空間的定向。
     • 正號 (+) 通常表示變換保持了空間的定向（如純旋轉）。
     • 負號 (-) 表示變換反轉了空間的定向（如反射）。在二維中，可以理解為從“逆時針”定向變成了“順時針”定向，或反之。來源：MIT OpenCourseWare 線性代數講座（Gilbert Strang）。

3. 關鍵性質與判據：

   • 可逆性判據：一個方陣A 是可逆的（或稱非奇異的，存在逆矩陣）的充分必要條件是其行列式det(A) ≠ 0。如果 det(A) = 0，則矩陣是奇異的，不可逆。這是行列式最核心的應用之一。來源：任何标準的線性代數教材，如《Introduction to Linear Algebra》（Gilbert Strang 著）。
   • 行列式乘法性質：對于兩個同階方陣A 和B，有 *det(AB) = det(A) det(B)**。這反映了複合變換的縮放因子是各變換縮放因子的乘積。
   • 轉置不變性：矩陣的行列式等于其轉置矩陣的行列式，即det(A) = det(Aᵀ)。
   • 行列式與特征值：矩陣的行列式等于其所有特征值的乘積。來源：Wolfram MathWorld - Determinant。

4. 重要應用：

   • 求解線性方程組：克萊默法則 (Cramer's Rule) 利用行列式直接給出線性方程組 Ax = b 的解（當 A 可逆時），盡管計算量大，但在理論上很重要。來源：《線性代數及其應用》。
   • 計算特征值：特征多項式（其根是特征值）的常數項是 (-1)ⁿ det(A)。
   • 多元微積分：在變量替換（如極坐标、球坐标變換）中，雅可比矩陣的行列式（雅可比行列式）的絕對值給出了積分中體積元的縮放因子。來源：微積分教材（如《Calculus: Early Transcendentals》James Stewart 著）。
   • 向量運算：在三維空間中，兩個向量的叉積的模長可以用一個行列式計算，三個向量的标量三重積也等于一個行列式。來源：物理和工程數學教材。

總而言之，行列式是一個将方陣映射到一個标量的函數，它深刻揭示了該矩陣所代表的線性變換對空間體積的縮放程度和定向的改變，是判斷矩陣可逆性、求解方程組、理解特征值以及在幾何和積分變換中不可或缺的工具。

網絡擴展資料

"Determinant" 是一個多領域術語，其核心含義為"決定因素"，但在不同學科中有具體解釋：

1. 數學領域（核心含義） 指方陣（行數與列數相等的矩陣）特有的标量值，記作 $det(A)$ 或 $|A|$。其計算方式為： $$ detbegin{pmatrix} a & b c & d end{pmatrix} = ad - bc $$ 用于判斷矩陣是否可逆（非零時可逆）、計算特征值、解線性方程組等。

2. 一般語義 指導緻事物發展或結果的關鍵要素，如：

• "Education is a determinant of career success"（教育是職業成功的決定因素）
• 生物學中可指基因等決定性因素。

3. 語言學 在語法結構中指限定詞（如冠詞、指示代詞等），用于限定名詞範圍，如"this book"中的"this"。

詞源：源自拉丁語"determinare"（限定、決定），16世紀進入英語。發音為/dɪˈtɜːrmɪnənt/（英式）或/dɪˈtɝːmɪnənt/（美式）。

應用場景：常見于學術論文（數學、經濟學、社會學）、數據分析報告、政策研究等領域。

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