factorial是什麼意思，factorial的意思翻譯、用法、同義詞、例句

factorial英标

英:/'fækˈtɔːriəl/ 美:/'fækˈtɔːriəl/

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階乘（Factorial）是數學中的基本概念，指所有小于或等于某個正整數( n )的正整數相乘所得的積，記作( n! )。其定義公式為： $$ n! = n times (n-1) times (n-2) times cdots times 2 times 1 $$ 例如，( 5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120 )。根據國際數學協會的定義，( 0! )被特别規定為1，以滿足組合數學中的計算需求。

階乘的應用廣泛，主要包括：

1. 排列組合：計算( n )個元素的不同排列方式時，總數為( n! )。例如，3個元素的排列方式有( 3! = 6 )種。
2. 概率論：用于計算事件的可能性，如撲克牌遊戲中特定牌型出現的概率。
3. 泰勒級數展開：在微積分中，階乘用于多項式函數的展開式系數（如( e^x = sum_{n=0}^{infty} frac{x^n}{n!} )）。

在數學性質上，階乘滿足遞歸關系( n! = n times (n-1)! )，且可通過伽瑪函數（Gamma Function）擴展到非整數領域。這一擴展在物理學和工程學的連續模型分析中尤為重要。

參考資料：

• 美國數學學會（American Mathematical Society）對特殊函數的官方定義
• 國際數學協會（International Mathematical Union）發布的《數學術語标準》

網絡擴展資料

"Factorial"（階乘）是數學中的一個基本概念，指所有小于或等于某個正整數的整數的乘積。其符號為感歎號!。例如，(5!) 表示 (5 times 4 times 3 times 2 times 1)。

具體定義

• 公式： $$ n! = prod_{k=1}^n k = 1 times 2 times 3 times dots times n quad (text{其中 } n in mathbb{N}) $$
• 特殊規定：
  • (0! = 1)（這是為了保持組合數學等領域的公式一緻性而定義）。

示例

• (3! = 3 times 2 times 1 = 6)
• (4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24)

應用領域

階乘常見于：

1. 排列組合（如計算排列數 (P(n, k) = frac{n!}{(n-k)!})）。
2. 概率論（如計算事件的可能排列方式）。
3. 泰勒級數展開（如 (e^x = sum_{n=0}^infty frac{x^n}{n!})）。

注意事項

• 增長極快：例如 (10! = 3,628,800)，遠超指數函數。
• 非整數擴展：可通過Γ函數（Gamma function）定義非整數的“廣義階乘”，如 (n! = Gamma(n+1))。

如果需要更多數學細節或曆史背景，建議查閱數學教材或組合數學相關資源。

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