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類别

CET6,考研,IELTS,TOEFL,GRE,商務英語

常用詞典

[數] 積分

完整（integral的複數）

例句

You know that much about integrals.

你們應該懂很多積分的。

We can convert them to integrals.

我們可以把它變成積分。

I mean, you are doing single integrals.

我的意思是，做一元積分時。

That we can turn the sums into integrals.

以至於我們可以把求和變成積分。

So, line integrals we know how to evaluate.

我們知道如何計算線積分。

常用搭配

integral part

積分部分；整數部份；主要的部分

integral equation

積分方程

integral method

積分法

integral structure

整體結構

definite integral

定積分

專業解析

積分（integrals）是微積分學中的核心概念之一，主要用於描述函數在某一區間内的累積量或整體性質。其數學定義為：若函數( f(x) )在區間( [a, b] )上連續，則定積分表示為

$$

int_{a}^{b} f(x) , dx

$$

它可理解為函數圖像與橫軸圍成的“面積”（考慮正負號的不定向面積）。

類型與意義

1. 不定積分：表示為( int f(x) , dx )，結果是一個函數族（原函數），用於求解微分方程的逆運算。
2. 定積分：具有上下限的積分，計算結果為實數，常用於物理和工程中的實際量計算，如位移、體積等。

應用領域

積分在多個學科中具有重要價值：

• 物理學：通過積分計算變力做功、流體壓力等；
• 工程學：分析信號的能量、系統的累積效應；
• 經濟學：用於評估收益或成本的長期累積值。

數學工具

微積分基本定理揭示了積分與導數之間的互逆關系，其公式為：

$$

frac{d}{dx} int_{a}^{x} f(t) , dt = f(x)

$$

該定理由牛頓和萊布尼茨獨立提出，奠定了現代分析學的基礎。

參考文獻

1. Khan Academy: Introduction to Integrals
2. Wolfram MathWorld: Integral
3. Stanford University Calculus Resources

網絡擴展資料

你提到的單詞“integrals”可能是拼寫錯誤。正确的拼寫應為integrals（積分），它是數學中微積分的重要概念。以下是詳細解釋：

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1.基本定義

積分（Integral）用於計算函數在某一區間上的累積量，例如面積、體積、位移等。它是微分的逆運算，與導數共同構成微積分基本定理。

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2.主要類型

• 不定積分（Indefinite Integral）
  表示為 $int f(x) , dx$，結果是一個函數族（原函數），例如：
  $$int x , dx = frac{1}{2}x + C$$
  其中 $C$ 為常數。

• 定積分（Definite Integral）
  表示為 $int_a^b f(x) , dx$，結果是一個數值，表示函數在區間 $[a, b]$ 上的累積量，例如：
  $$int_0 x , dx = frac{1}{2}$$

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3.應用領域

• 幾何：計算曲線下面積、旋轉體體積。
• 物理：求解位移（速度的積分）、功（力的積分）。
• 概率：概率密度函數的積分用於計算概率。

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4.符號與曆史

積分符號 $int$ 由萊布尼茨（Leibniz）發明，源自拉丁語 “summa”（求和）。其含義與極限過程相關，通過分割區間并無限趨近於精确值。

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5.擴展概念

• 黎曼積分：最基礎的積分定義，適用於連續函數。
• 勒貝格積分：更廣義的積分，適用於更複雜的函數。
• 多重積分：用於多元函數，如計算三維空間體積。

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如果需進一步探讨具體計算或應用場景，可以舉例說明！

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