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動态規劃；動态程式設計
This is exactly how dynamic programming works.
這就是動态編程的工作原理。
How to improve this Dynamic Programming solution?
如何完善這一動态規劃的解決方案？
Optimum analysis is made by dynamic programming method.
用動态規劃法進行了優化分析。
Blue is a dynamic programming language with unique features.
Blue是一種具有獨特功能的動态編程語言。
It also includes use of the dynamic programming techniques.
這也包括了動态規劃技巧的使用。
動态規劃（Dynamic Programming）是一種通過将複雜問題分解為相互關聯的簡單子問題，并利用子問題的解來高效求解原問題的算法設計方法。其核心思想包含兩大關鍵特征：
最優子結構
問題的最優解包含其子問題的最優解。例如，最短路徑問題中，若從A到C的最短路徑經過B，則A到B和B到C的路徑也必須是各自子問題的最短路徑（參考：維基百科動态規劃）。
重疊子問題
不同子問題之間存在重複計算的可能。動态規劃通過記憶化技術（Memoization）存儲已計算的子問題結果，避免重複開銷。例如斐波那契數列計算中，遞歸會産生大量重複調用，而動态規劃可将其時間複雜度從指數級降至線性級。
該方法由美國數學家Richard Bellman於1953年提出。其命名源自軍事術語“Dynamic”（動态）與“Programming”（規劃），旨在描述多階段決策過程的優化特性（參考：Bellman自傳《Eye of the Hurricane》第159章）。
動态規劃（Dynamic Programming，簡稱DP）是一種用於解決複雜優化問題的算法設計方法，其核心思想是将問題分解為相互重疊的子問題，通過存儲子問題的解（即“記憶化”）避免重複計算，從而提高效率。
最優子結構
問題的最優解包含其子問題的最優解。例如，最短路徑問題中，若從A到C的最短路徑經過B，則A到B和B到C的路徑也必須是各自的最短路徑。
重疊子問題
在遞歸求解過程中，相同的子問題會被多次計算。動态規劃通過存儲中間結果（如用數組或哈希表）減少計算量。例如，斐波那契數列的遞歸解法會重複計算fib(3)，而動态規劃隻需計算一次。
定義狀态
用變量（如dp[i]）表示子問題的解。例如，dp[i]可表示第i個斐波那契數。
狀态轉移方程
描述子問題之間的關系。例如：
$$text{斐波那契數列：} dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]$$
$$text{背包問題：} dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-w_i] + v_i)$$
初始化與邊界條件
如斐波那契數列中dp[0]=0, dp[1]=1。
計算順序
通常采用自底向上（疊代）或自頂向下（遞歸+記憶化）的方式。
| 動态規劃 | 分治法 |
|---|---|
| 子問題重疊，需存儲中間結果 | 子問題獨立，無重複計算 |
| 適用於優化問題（如最大值） | 適用於分解問題（如排序） |
動态規劃由Richard Bellman於1950年代提出，名稱中的“Programming”指“表格法”而非編程。通過合理設計狀态和轉移方程，可将許多指數級複雜度的問題優化為多項式時間。
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